تئوری اتوماتای جهانی Turing باعث شد تا von Neumann در مورد اتوماتای سلولی که توانایی self-reproduction داشته باشد، فکر کند. پرسشی که او از خود نمود این بود که چه نوع ساختار منطقی می‌تواند به اتوماتون این امکان را دهد که مانند خود را ایجاد کند؟
یک ساختار با ویژگی self-reproduction مجموعه‌ای از سلولهای فعال است که هر کدام بیانگر بخشی از یک ماشین می‌باشد. در هر مرحله هر اتوماتون از مجموعه‌ای از قوانین بشکل تابعی از وضعیت کنونی خود و وضعیت همسایه‌های مجاورش استفاده می‌کند تا وضعیت بعدی خود را بدست آورد. براساس چنین تاثیر متقابل محلی، یک ساختار اولیه پس از طی چندین مرحله، یک نسخه از خودش را می‌سازد.
ماشین Turing یک اتوماتون انتزاعی است که می‌تواند در یکی از n حالت قرار داشته باشد و قادر به خواندن و نوشتن برروی نواری بطول بی‌نهایت می‌باشد. با چنین ماشین ساده‌ای Turing توانست ادعا کند که می‌توان هر مساله‌ای را که با قلم و کاغذ قابل حل است، با این ماشین نیز حل نمود و در نهایت ماشین جهانی خود را معرفی کرد. پس هر ماشین محاسباتی پیچیده در حقیقت معادل ماشین Turing است..
von Neumann دریافت که چنین ایده‌ای را می‌توان با افزایش تعداد عملیات ماشین Turing بسط داد. ایده شبیه سازی یک کامپیوتر توسط کامپیوتر دیگر (با دادن اطلاعات کافی در مورد آن کامپیوتر، مثلاً مجموعه‌ قوانین) باعث شد تا von Neumann خواسته‌های یک اتوماتون را جهت ساختن اتوماتون دیگر فرموله کند. درقیاس با Turing، او تعریفی از قسمتهای بنیادی جهت ساختن اتوماتون ارائه کرد (تحت عنوان کاتالوگ اجزاء ماشین). اتوماتون سازنده در مجموعه نامحدودی از این اجزا شناور است و هنگامیکه توصیف اتوماتون خاصی را دریافت می‌دارد، آن را می‌سازد. به چنین اتوماتونی، اتوماتون سازنده جهانی (Universal Constructive Automaton) گویند که آنرا A می‌نامیم.
در شکل 1-1- نمودار شماتیک اتوماتون self-replicative یا Mc نشان داده شده است. Mc شامل دو بخش است. یکی بخش سازنده (Constructing Unit) که اتوماتون جدید را می‌سازد و دیگری بخش نوار می‌باشد که اطلاعات لازم برای ساختن اتوماتون جدید را می‌تواند بخواند و بنویسد.

شکل( 1-1) نمودار شماتیک اتوماتون self-replicarive
بخش نوار شامل یک کنترلگر نوار و یک نوار است. نوار بصورت یک آرایه خطی از سلولهایی است که شامل اطلاعاتی در مورد M یعنی اتوماتونی که باید ساخته شود، هستند. اطلاعات روی نوار از چپ به راست شامل موارد زیر می‌باشد:
مختصات x و y گوشه سمت چپ و پایین (x0,y0) مستطیلی که در آن باید اتوماتا ساخته شود.
ب – طول و عرض این مستطیل
پ – وضعیت سلولها بترتیب معکوس
ت – یک علامت ستاره که نشان دهنده پایان نوار می‌باشد.
ایجاد اتوماتون جدید با فرستادن سیگنال (از طریق انتشار وضعیت‌های سلول‌ها) بین بخش نوار و واحد سازنده انجام می‌شود. واحد سازنده شامل یک واحد کنترل و یک بازوی سازنده می‌باشد. بازوی سازنده یک آرایه از وضعیت‌های سلول‌ها است. که از طریق آن وضعیت‌های سلول‌ها می‌تواند از واحد کنترل به محل مورد نظر در محدوده ساخت منتقل گردد.
I را توصیف یک اتوماتون خاص (مشابه نوار اطلاعات در ماشین Turing) در نظر می‌گیریم. در حالت خاص، به A می‌توان توصیف خودش را داد که در آنصورت به آن Self-replicate گوئیم. حال اتوماتون B را در نظر می‌گیریم که دستورالعملهای I را دریافت کرده تا یک کپی از آن بسازد (B مثل یک ماشین کپی می‌باشد). C نیز یک مکانیزم کنترل است.
ابتدا C به A دستور می‌دهد تا اتوماتونی را که توسط I توصیف شده بسازد. سپس C باعث می‌گردد که B یک کپی از I ساخته و آن را در اتوماتون تازه ساخته شده قرار دهد. در نهایت اتوماتون ساخته شده از A و B جدا می‌شود. پس داریم:
D= (A,B,C)
واضح است که D زمانی می‌تواند عمل کند که دستورالعملهای I برای آن فراهم شده باشد. حال دستورالعملهای ID را در نظر می‌گیریم که D را توصیف می‌کنند (بجای آنکه A یا B را توصیف کنند) لذا خواهیم داشت:
E= (D, ID)
که یک اتوماتون self-replicate جهانی می‌باشد.
لازم است در اینجا به این نکته اشاره کنیم که بین اتوماتون و توصیف آن اختلاف وجود دارد. طبق نظر Von Neumann این دو مفاهیمی در سطوح مختلف می‌باشند. یکی از دلایل این امر در مشاهدات او بود که اتوماتا قادر است اتوماتای با پیچیدگی بالاتری نسبت به خودش را بسازد (نظیر ماشینهایی که ابزار دقیق می‌سازند). تنها بحثی که باقی مانده بود، آن بود که این اطلاعات اضافی از کجا فراهم می‌گردد. او ادعا کرد که سطحی از پیچیدگی بالاتر از آنچه که پیچیدگی می‌تواند به آن برسد وجود دارد (در نسلهای بعد). برای تصحیح ایده von Neumann با دانستن ساختار کد ژنتیک، باید گفت که این افزایش اطلاعات (دستورالعملهای پیچیده‌تر) است که عامل افزایش پیچیدگی ارگانیزم می‌گردد. اطلاعات در ID بوسله موتاسیون تصادفی (Random Mutation) نوشته می‌شود که von Neumann آنها را با genome در اتوماتی طبیعی مطرح کرد. این اطلاعات لزوماً نباید در ابتدا در ID باشد. بنابراین سیستم دارای قوه تکثیر (Reproductive) کامل اید شامل محیطی باشد که به آن وفق داده می‌شود.
1-1-2- تعریف رسمی اتوماتای سلولی
اتوماتای سلولی شبکه‌ای است از سایتها که هر کدام می‌تواند k حالت (وضعیت) داشته باشد. در هر سایت یک اتوماتون با حالات محدود (Finite State Automaton) قرار دارد. در حالت یک بعدی، هر سایت دو همسایه نزدیک به خود دارد. در این حالت، وضعیت سایت I در زمان t+1 یعنی مطابق فرمول زیر بدست می‌آید:

تابع را قانون اتوماتای سلولی می‌نامیم. ایده همسایگی در اتوماتای سلولی یک بعدی را می‌توان بسط داد بگونه‌ای که دو همسایه دیگر و یا بیشتر را نیز شامل شود. یعنی می‌توان شعاع r را برای همسایگی در نظر گرفت. البته معمولاً‌ نزدیک‌ترین همسایه‌ها را در نظر می‌گیریم، یعنی r=1 همچنین سایتها در اتوماتای سلولی می‌توانند در شبکه‌ای با هر ابعادی قرار گیرند. دو نوع همسایگی مهم در اتوماتای سلولی دو بعدی عبارتند از همسایگی Moore و همسایگی von Neumann . در همسایگی Moore برای هر سلولی مرکزی هشت سلولی همسایه و در همسایگی von Neumann چهار سلولی همسایه در نظر گرفته می‌شود:

شکل 1-2) انواع همسایگی‌های مهم در اتوماتای سلولی
بیانگر مجموعه حالات اتوماتون با حالات محدود بوده و نیز بیانگر تعداد حالات هر سلولی است. واضح است که می‌باشد. برای مثال، در اتوماتای سلولی یک بعدی و طول همسایگی را نیز با 2r+1 نشان می‌دهیم. همچنین در این نوع اتوماتای سلولی داریم:

1-1-3- ویژگی‌های اتوماتای سلولی
ویژگی‌های اساسی اتوماتای سلولی عبارتند از
آ – Discrete in Space : فضایی گسسته دارند.
ب – Discrete in Time :‌زمان بصورت گسسته پیش‌ می‌رود.
پ – Discrete in States : هر سلولی تعداد محدودی از وضعیتهای ممکن را اختیار می‌کند.
ت – Homogeneous : تمام سلولها یکسان میباشند.
ث – Synchronous Updation : عمل بروز در آوردن سلولها بصورت همگام می‌باشد.
ج – Deterministic Rule : قوانین تصادفی نبوده و بطور قطعی اعمال می‌شوند.
چ – Spatially Local Rule : قانون در هر سایت فقط بستگی به مقادیر همسایه‌های اطراف آن دارد.
ح – Temporally Local Rule : قانون برای مقدار جدید هر سایت فقط بستگی به مقادیر تعداد محدودی از مراحل قبل دارد. (معمولاً یک مرحله قبل)
برای پیچیده‌تر کردن مدل، می‌توان تغییرات زیر را برآن اعمال نمود:
آ – افزایش تعداد ابعاد محیط
ب – افزایش تعداد وضعیت‌های هر سلول
پ – افزایش طول همسایگی
ت – متغیر نمودن همسایگی در طی زمان
ث – متغیر نمودن قانون در طی زمان
ج – تغییر در شرایط مرزی
چ – تبدیل قانون اتوماتای سلولی از حالت قطعی به حالت احتمالی
ح – استفاده از شبکه‌های مثلثی (Triangular) و یا شش ضلعی (Hexagonal). حسن شبکه شش ضلعی نیز آنستکه سلولها به فاصله یکسان از هم قراردارند.
در مدلسازی سیستم‌های فیزیکی و بیولوژیکی،‌گاهی لازم است که قوانین را بصورت احتمالی در نظر گیریم . رفتار احتمالی قانون را می‌توان به عنوان نویز در سیستم تعبیر نمود. اضافه کردن نویز به بازی زندگی می‌تواند آنرا بیشتر به جهان واقعیت نزدیک کند . همچنین با وجود اینکه سلولها را بصورت گسسته در نظر گرفته‌ایم، تعداد بسیار زیادی از آنها ممکن است رفتار پیوسته‌ای را از خود نشان دهند.
گاهی اوقات نیز ممکن است که بخواهیم براساس ساختارهای مشاهده شده در اتوماتای سلولی، ساختارهای قبلی را حدس بزنیم و یا قانون حاکم بر آنها را بدست آوریم . البته از آنجا که اتوماتای سلولی ویژگی‌ بازگشت ناپذیر دارند، همیشه امکان حدس زدن ساختارهای قبلی وجود ندارد.
ساختارهایی را که در طی زمان غیر قابل دسترسی هستند، باغ عدن (Garden-of-Eden) گویند. یعنی ساختاری وجود ندارد که در طی زمان به این گونه ساختارها برسد.
در مدل پیشنهادی von Neumann هر سلول می‌توانست 29 وضعیت داشته باشد. از آنجا که von Neumann می‌خواست self-replicator جهانی داشته باشد، آنرا براساس اصول کامپیوترهای دارای برنامه ذخیره شده‌ای ساخت که خودش طراحی کرده بود. یعنی هر replicator دارای pipeline , decoder , encoder , clock , pulser هایی بود که توصیف را به ارگانهای مربوطه می‌رساندند. پیچیدگی چنین ماشینی مانع از آن شد تا این ایده عملی شود. جالب است بدانیم که طرح اتوماتون self-replicator از سوی von Neumann قبل از کشف مکانیزمی بود که از طریق آن DNA مانند خود را می‌سازد.
مدل ساده‌تر اتوماتای سلولی von Neumann توسط Codd در سال 1968 ارائه شده که فقط 8 وضعیت در آن برای هر سلول در نظر گرفته شده بود . اما همچنان بر جهان ساختاری بودن (Construction Universality) تاکید داشت. یعنی از هر اتوماتون انتظار می‌رفت که هر اتوماتون دیگر را بسازد. این خواسته باعث می‌شد که ماشین Codd همچنان پیچیده بماند و لذا هیچ وقت ساخته نشد. پس از او نیز Banks مدلی با 4 حالت برای هر سلول ارائه داد.
کار در این زمینه تا سال 1984 مسکوت ماند تا اینکه Christopher Langton ایده را دوباره زنده کرد. او دریافت که برای مطالعه جنبه‌های سیستم‌های زنده نظیر self-replication در یک رسانه (Medium) محاسباتی لزوما نباید بر فراهم کردن اجزاء کافی تاکید کنیم، بلکه فقط به آنهایی که لازم هستند، نیاز داریم. نکته مهم دراین مبحث، جهان محاسباتی (Computational Universality) بودن است و نه جهان ساختاری(Construction Universality) بودن اتوماتای سلولی .
برای اینکه جهان محاسباتی بودن اتوماتای سلولی را نشان دهیم، دو راه وجود دارد. در روش اول، با شبیه سازی ماشین Turing توسط اتوماتای سلولی نشان داده می‌شود که ویژگی جهان محاسباتی دارد. در روش دوم کافیست که ارتباط بین ساختارهای اتوماتای سلولی و اجزای یک کامپیوتر رقمی را نمایش دهیم. مثلاً glider gun ها را می‌توان بعنوان ساعت سیستم و جریانی از glider ها را بعنوان سیم حامل ضربان سیستم در نظر گرفت. حالت اولیه را نیز می‌توان بعنوان برنامه ورودی تعبیر نمود. در مورد اثبات جهان محاسباتی بودن به این روش، در بخش بازی زندگی بیشتر خواهیم پرداخت.
فقط اتوماتای سلولی نامحدود ممکن است ویژگی‌ جهان محاسباتی داشته باشد. اتوماتای سلولی محدود، تعداد محدودی وضعیت داخلی را شامل می‌شود و لذا ممکن است زیر مجموعه‌ای از تمام توابع قابل محاسبه را ارزیابی کند. اینکه بتوان تعیین کرد که یک اتوماتای سلولی خاص دارای ویژگی‌ جهان محاسباتی است، غیر ممکن می‌باشد.
برای جلوگیری از زیاد شدن تعداد قوانین، می‌توان محدودیتهایی در نظر گرفت:
آ – شرط quiescent برای آن برقرار باشد. یعنی حالت اولیه‌ای که تمام سایتها در آن 0 هستند (وضعیت quiescent) ، باید بدون تغییر بماند.
ب – باید ویژگی‌ spatial isotropy یا reflection symmetry داشته باشد و بدین معنی است که تمام دورانهای یک همسایگی. به یک وضعیت باید نگاشته شوند. مثلاً در